Étude de la fonction f définie par f(x) =​​​​ 6(5 – 3x) - Solution 1

1. Pour tout réel  `x` , on a :  \(f(x)= 30-18x=-18x+30\) .

L'expression algébrique de la fonction  `f`  est du type  `f(x)= mx+p`  où  \(m=-18\)  et  `p=30` .  `f`  est donc une fonction affine . 

2. Reprenons l'expression trouvée en 1. :  \(f(1)=-18\times1+30=-18+30=12\) `` .

`f(1)=12`

Remarque    On aurait pu calculer l'image de 1 à partir de l'expression initiale : \(f(1)=6\times(5-3\times 1)=6×2=12\) .

3. a.  \(f\) est une fonction affine, sa représentation graphique est une droite que l'on notera d. Cherchons deux points de cette droite pour pouvoir la tracer.

• L'ordonnée à l'origine `p`  vaut  `30` . On en déduit que le point A de coordonnées  `(0\ ;30)`  appartient à la droite d.
  
• La question 2 nous donne l'image de 1 :  \(f(1)=12\) . On en déduit que le point B de coordonnées  `(1\ ;12)`  appartient à la droite d. 
  

b. Graphiquement, on ne peut qu'estimer la réponse :  `f(x) \ge 0`  pour  `x`   `\leq 1,7`  (environ).

    c. \(f(x) \ge 0\)

`\Leftrightarrow` `-18x+30 \ge 0`

`\Leftrightarrow`            \(-18x \ge -30\)

`\Leftrightarrow`                    `x\leq frac{30}{18}`

  `\Leftrightarrow`                    `x\leq frac{15}{9}`

\(S = ]-\infty\ ; \dfrac{15}{9}]\)

Remarques

• La résolution de l'inéquation permet d'obtenir la valeur exacte  `frac{15}{9}` .
  
• `f`  est strictement décroissante sur  `\mathbb{R}`  car son coefficient directeur est strictement négatif et on a : \(f(x) \ge 0 \Leftrightarrow x\leq \dfrac{15}{9}\)  et `` \(​ f(x) \le 0​\Leftrightarrow x\ge \dfrac{15}{9}\) .